Алгебра Билеты
Cкачать: Билеты на экзамен по алгебре 10 класс. Различные системы координат на плоскости и в пространстве. Формулы перехода от одной. Читать работу online по теме: линейная_алгебра(билеты_и_ответы)1 курс.
Экзаменационные вопросы по дисциплине «алгебра и аналитическая геометрия -1». Определители и матрицы. Алгебра матриц. Твѐрдые знания: Определители второго и третьего порядка, их свойства. Определители n - го порядка, их свойства и методы вычисления. Линейные операции над матрицами.
Умножение матриц. Един4ичная матрица. Обратная матрица.
Линейная зависимость и независимость n - мерных векторов. Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы.
Навыки вычисления: определителей 2-го, 3-гои n - го порядков; суммы, разности и произведения матриц, обратной матрицы; ранга матрицы. Применение понятия ранга матрицы для определения линейной зависимости и независимости системы векторов. Системы линейных алгебраических уравнений. Твѐрдые знания: Теорема Кронекера - Капелле. Метод Гаусса.
Правило Крамара. Однородные системы линейных алгебраических уравнений.
Фундаментальная система решений. Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений. Связь решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений с соответствующей однородной. Навыки решения систем линейных уравнений. Рационально выбрать метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Векторная алгебра.
Твѐрдые знания: Скалярные и векторные величины. Модуль вектора, равенство векторов. Нулевой вектор.
Коллинеарные и компланарные векторы. Линейные операции над векторами. Разложение вектора по базису на плоскости и в пространстве. Проекция вектора на ось. Прямоугольные координаты вектора и точки. Линейные операции над векторами в прямоугольной системе координат. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов, их свойства.
Условия коллинеарности и перпендикулярности двух векторов. Условия компланарности трех векторов. Навыки: разложения вектора по базису на плоскости и в пространстве; вычисления скалярного, векторного и смешанного произведений векторов.
Применение векторной алгебры к решению задач геометрии, физики и механики. Аналитическая геометрия на плоскости. Прямая на плоскости.
Кривые второго порядка. Твѐрдые знания: Основные задачи аналитической геометрии на плоскости. Геометрический смысл уравнения Р(х,у) = 0. Различные виды уравнения прямой, общее уравнение прямой. Соответствие между прямыми на плоскости и линейными уравнениями с двумя переменными. Взаимное расположение двух прямых.
Расстояние от точки до прямой. Преобразование прямоугольных координат. Эллипс, гипербола, парабола.
Их определения, канонические уравнения, исследование формы кривой по каноническому уравнению. Элементы общей теории линий второго порядка.
Полярные координаты. Кривые в полярных координатах. Навыки оперирования с различными способами задания прямой на плоскости; приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду путѐм параллельного переноса и поворота системы координат и построения еѐ. Решение геометрических задач, с использованием линий первого и второго порядков.
Аналитическая геометрия в пространстве. Плоскость и прямая в пространстве.
Поверхности второго прядка. Твердые знания.
Основные задачи аналитической геометрии в пространстве. Геометрический смысл уравнения Р(х,у,2) = 0. Виды уравнений плоскости в пространстве.
Соответствие между плоскостями и линейными уравнениями с тремя переменными. Расстояние от точки до плоскости. Пучок плоскостей.
Различные виды уравнения прямой в пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей. Цилиндрические поверхности. Конические поверхности.
Поверхности вращения. Поверхности второго порядка: сфера, эллипсоид, гиперболоид, параболоид. Метод сечении для изучения вида поверхности. Цилиндрические и сферические координаты.
Навыки оперирования с различными способами задания плоскости и прямой в пространстве; приведения уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду путѐм параллельного переноса и построения еѐ; построение тел, ограниченных заданными поверхностями. Решение геометрических задач, с использованием уравнений поверхностей и линии пространстве. Определители второго и третьего порядка, их свойства. Рассмотрим кв.
Таблицу чисел. Такие таблицы называются матрицами. Ряды – строки; вертикал. Ряды – столбцы. A a Матрица 2го порядка. Главная диагональ – а(11)-а(22).Побочная диагональ – а(21)-а(12).
A 11 12 a21 a 22 def a11 a22 a12 a21 det A A a a a 11 12 13 A a 21 a22 a23 Матрица 3го порядка. A32 a33 a31 det A a11. a22. a33 a12. a23.
a31 a31. a21. a32 a13. a22. a31 a12.
a21. a33 a11. a23. a32 / Записан опр-ль3го порядка. Каждое слагаемое в сумме – член опр-ля(т.е. Произведение элем-тов мат-цывзятых по одному из каждой строки и каждого столбца).
убывание вторых индексов эле-товматрицы. При инверсии появляется знак «-». ПРИМЕРЫ: a 13 a 22 a 31 - 2 инверсии, поэтому знак «+»; a 12 a 23 a 31 - 2е инверсии, поэтому «+»; a 11 a 23 a 32 - инверсия одна знак «-».Если кол-воинверсий четное, то знак члена(произведения) «+», если нечетное то «-». Вывод: со знаком (+) в опр-львходят члены у которых в перестановке вторых индексов четное число инверсий. А со знаком (-),те у которых это число нечѐтное. Формула для определения знака перед произведением: a a a 3 11 12 13 A a 21 a22 a23 ( 1) N a 1 i. a 2 j.
a 3 k (где N – количество инверсий в перестановке вторых индексов I,j,k.) a32 a33 i, j,k 1 a31 Если пара эле-товрасположены в перестановке так, что эле-тс большим номером стоит раньше элем-тас меньшим номером, то говорят, что эти элементы образуют инверсию. Свойства опр-ля. Значение опр-ляпри транспозиции не меняется. (Транспозиция – замена строк столбцами) a a a T a a 21 a n 1 11 12 1 n 11 a a a a a a det A det A T Док-во:каждый член опр-ля мат-цыявляется и членом транспонированной 21 22 2 n 12 22 n 2 an 2 a 2 n a n 1 a nn a 1 n a nn матрицы (т.е. Его множители и в опр-летранспониров.
Мат-цыв разных строках и столбцах). Значит опр-льне меняет своего знака. Св-во док-но. Если в опр-лепоменять местами две строки или столбца, то опр-льизменит только знак, а по абсолютной величине не изменится. Док-во:Если в мат-цепоменять местами две строки, то перестановка, составленная из таких знаков как i 1,i 2,i 3.i n перейдет в другую. С помощью одной транспозиции (т.е. Каждый член исходного опр-лявойдет в новый опр-льс противоположенным знаком).
Св-во док-но.Следствие: опр-льс 2-мяодинаковыми строками или столбцами равен 0. Общий множитель всех элементов строки или столбца можно вынести за знак опр-ля.
A a a 3 i1. I n 3 i1. I n a a a 11 12 1 n 11 12 1 n c. a k 1 c. a k 2 c. a kn ( 1).
a. c. a kik. a nin c. ( 1).
a. a kik.
a nin c a k 1 ak 2 a kn 1 i1 1 i1 a n 1 an 2 i, j,k 1 i, j,k 1 an 2 a nn a n 1 a nn Следствие: опр-льс двумя пропорциональными строками равен 0. Если каждый элем-т К-тогостолбца или К-тойстроки опр-ляпредставлен в виде суммы двух слагаемых, то данный опр-льможно представить в виде суммы двух опр-лей. A11 a12 a 1 n 3 i1. I n 3 i1. I n c b k1 c k1 bk 2 ck 2 bkn ckn ( 1). a.( b kik ). a nin ( 1).
a.( b ). a nin i, j,k 1 1 i1 kik 1 i1 kik a n 1 an 2 ann i, j,k 1 3 i1. I n a11 a12 a 1 n a11 a12 a 1 n ( 1). a.( c kik ). a nin b k 1 bk 2 bkn c k 1 ck 2 bc kn i, j,k 1 1 i1 a n 1 an 2 ann a n 1 an 2 ann Следствие: опр-льне меняет своего значения если к элем-тамодной строки(столбца) прибавить соответствующие элем-тыдругой строки(столбца), умноженных на одно и тоже число. убывание вторых индексов эле-товматрицы.
Линейная Алгебра Билеты
При инверсии появляется знак «-». ПРИМЕРЫ: a 13 a 22 a 31 - 2 инверсии, поэтому знак «+»; a 12 a 23 a 31 - 2е инверсии, поэтому «+»; a 11 a 23 a 32 - инверсия одна знак «-».Если кол-воинверсий четное, то знак члена(произведения) «+», если нечетное то «-». Вывод: со знаком (+) в опр-львходят члены у которых в перестановке вторых индексов четное число инверсий. А со знаком (-),те у которых это число нечѐтное. Формула для определения знака перед произведением: a a a 3 11 12 13 A a 21 a22 a23 ( 1) N a 1 i. a 2 j. a 3 k (где N – количество инверсий в перестановке вторых индексов I,j,k.) a32 a33 i, j,k 1 a31 Если пара эле-товрасположены в перестановке так, что эле-тс большим номером стоит раньше элем-тас меньшим номером, то говорят, что эти элементы образуют инверсию.
Опр-лем n-го порядка называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элем-тов, взятых по одному из каждой строки каждого столбца. Если в таком произведении множители расположены в порядке следования строк, то со знаком (+) берутся те произведения, у которых перестановка вторых индексов четная, а со знаком (-)у которых нечетная. Количество слагаемых в сумме: n! (кол-вочисел в опр-ле),причем половина – (+), половина – (-).Свойства опр-лясмотреть в первом вопросе. Методы вычисления: 1. Привидение опр-ляк треугольному виду (ниже главной диагонали стоят только 0).
Доказывается по св-ву опр-ляразложение по 1- 1 2 3. 2 му столбцу: 1.
2 0. 1. 2.
3. n n!
Метод рекуррентных соотношений: 3. Метод выделения линейных множителей: 4. Метод представления опр-ляв виде суммы опр-лей: 5. Метод изменения элем-тов опр-ля: 6. Применение умножения матриц: ВОПРОС №4. Линейные операции над матрицами.
Умножение матриц. Матрица – квадратная таблица чисел, состоящая из строк, столбцов, имеющая главную и побочную диагональ (все показать на примере). Рассмотрим прямоуг. Таблицу чисел (m - строк, n - столбюцов): a a. A 11 12 1 n Где i 1 m j 1 n («изменяется от 1 до n») a21 a22.
A aij 31 32 3 n. Суммой матриц называется матрица, одинаковой размерности с исходными, элем-тыкотрой равны сумме элем-товисходных B bij; C A B aij bij i 1m матриц.
J 1n Умножение матрицы на число. Матрица умноженная на число y равняется матрице, элем-ты i котрой помножаются на y. Y. A y. a ij 1 m j 1 n Умножение матриц.
При перемножении 2-хматриц необходимо чтобы кол-востолбцов A B первой матрицы совпадало с кол-вомстрок второй матрицы (Если. C нет то перемножение таких матриц невозможно). У результата. Перемножения двух матриц (кол-во строк)=(кол-вострок в первой.
матрице); (кол-во столбцов)=(кол-востолбцов во второй матрице);. 3m n 2 C p 3m p 4. AIK bKJ 4 p. n2 k 1 Вопрос №5. Единичная матрица. Обратная матрица.
Единичная матрица. матрица, на главной диагонали которой расположены одни единицы. Главным св- 1 0 0 0 вом единичной матрицы является то, что любая матрица, умноженная на единичную 0 1 0 0 E матрицу соответств. Ранга даст в результате саму матрицу. 0 0 1 0 0 0 0 1 Обратная матрица.
(ОБ) А -1 – обратная матрица – та матрица, результат умножения которой на матрицу А является Е (един. ОБ существует только от квадратных матриц, опр-лькоторых не равен 0. Воспользуемся св-вами опр-ля: det( A.
B ) det( A ).det( B ). Док-воэтого факта базируется на опр-лях(см.
Применяем данное св-во: det( A 1 ).det( A ) det E 1; ни одна из этих матриц ≠0. (//.Вырожденная матрица – матрица, опр-лькоторой ≠0. Вырожденная матрица – матрица, опр-лькоторой =0.) Нахождение обратных матриц. Пусть дана невырожденная матрица А. Рассмотрим матрицу, состоящую из алгебраических дополнений матрицы А. Если производить умножение в другом порядке – тоже самое, т.к. Умножение элем-тыалгебр.
Дополнения другого элем-таи слодение =0. A A. A.
A det(A ) E → A ( 1 A. ) 1 A. E 1 A 1 det A det A det A Алгоритм вычисления обратной матрицы: 1) составляем матрицу из алгебр.
2) Транспонируем еѐ, получая присоединѐнную матрицу. 3) Каждый элем-тматрицы делим на опр-льматрицы. 3) A 1 1 1) A i, j 1, n 2) A. A A IJ IJ det A IJ ВОПРОС №6. Линейная зависимость и независимость n - мерных векторов. Рассмотрим матрицу А: a a.
A e е 3=а 11.е 1-3.е 2 каждый элем-т3 строки можно представить как комбинацию. Поэлементное сложение.
11 12 1 n 1 a21 a22 Определение: Пусть е 1, е 2, е м строки матрицы А и пусть е м строка линейным образом выражается через A. A 2 n e 2 1 e1 m 1 e m 1, т.е. Е м – строка является линейной комбинацией в предыдущих строках. E предыдущие e m 3 2 e2. M 1 e m 1 ( 1) e m 0 a 2 n 1 e1 a 1 n. Ann em Строки матрицы линейно зависимы, если существуют такие числа j 1,j 2,j m все не равные 0,то данная линейная комбинация строк с данными числами дает нулевую строку.
Если таких чисел нет, то строки называют линейно-назависимыми.(.аналогично определяется линейная зависимость и независимость для столбцов матрицы). Ранг матрицы.
Теорема о ранге матрицы. Рассмотрим матрицу m n и выделим из этой матрицы К строк и К столбцов.
Из элем-тов,стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов. Составим опр-ль К-гопорядка. Все такие определители называют манорами матрицы. Из матрицы порядка m n можно составить: C k C k m!n! C k число сочетаний n!
M n ( k!) 2 ( m k)!( n k)! N Определение: Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от 0 миноров этой матрицы. R(A) Пояснение: Если ранг матрицы равен r, то среди миноров этой матрицы есть по крайней мере один минор r –го порядка, отличный от 0 в то время как все миноры порядка r+1 и выше равны 0. «Если ранг матрицы равен r, то в этой матрице можно найти r линейно-независимыхмежду собой строк (или столбцов), через которые линейно выражаются все остальные строки матрицы или столбцы» Док-во(1): A m n Пусть еѐ ранг равен r. Отличный от нуля опр-ль n-гопорядка не равен 0. Метод от противного.
Пусть первые r строк линейно зависимы. Пусть r -ястрока выражается через предыдущую: e r 1 e 1. 0 ( 1) 1 2 2. ( r 1) r 1 a r 1. Arr Строка равна 0. Получаем противоречие, которое показывает предположение не верно. Значит Первые r строк независимы.
Док-во(2): Выбор второго индекса r k e m,n. Рассматриваем опр-ль(r +1) порядка, который получен из опр-ляD, добавлением К-ойстроки и е-гостолбца. A a a = Разложим опр-льпо е-мустолбцу: a 1 e A 1 e.
A re A re a ke A ke A ke D 0 Алгебр. Дополнения стоящие в этом 11 0 разложение не зависят от е, потому что при их нахождении е-йстолбец вычеркивается. A r 1 arr ark Алгебраическое дополнение A ke.
Выражаем a ke: 1 a k 1 akr ake a ( a A. A Каждую строку мы выражаем через r – строк. Ke D 1 e 1 e re re 1 1 e r re Следствие: максимальное число линейно-независимыхстолбцов матрицы равно максимальному числу линейно-независимыхстрок. Для того, чтобы опр-льбыл равен 0, необходимо и достаточно, чтобы его строки или столбцы были линейно-независимыми.РАЗДЕЛ НОМЕР ДВА.
Теорема Кронекера - Капелле. Теорема: « Для совместности системы линейных уравнений необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы равнялся рангу расширенной матрицы системы». Док-во:1) Необходимость. Система совместна если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. A 1n 1n b 1 a11 a12 b 1 x1 1; x2 2; xN N.; A a a. A mn n b a m 1 a mn b m1 1 m2 2 m m Из последнего столбца вычитаем 1й столбец умноженный на значение 1й переменной затем вычитаем 2й столбец умноженный на значение 2й переменной.
Данные преобразование не меняет ранг матрицы (ранг остался неизменным, т.к. Нулевой столбец не влияет на ранг, то получается, что ранг матрицы системы равен рангу общей матрицы). 2) Достаточность. Пусть ранги равны: r(A)=r(A)=r Пусть определитель r –гопорядка (≠0) стоит в верхнем углу матрицы системы: Первые r переменных оставляем на месте, остальные переносим a a a x a x. A x в другую сторону.
«Перенесенные» переменные являются 11 1 r 11 1 12 2 1 R R 1 1( R 1) 1 R 1 N N свободными. D 0 = a 21 x 1 a22 x2. A 2 R x R b 1 a2( R 1) x1 R. A 2 N x N Если свободным переменным придать любые значения, то в a r 1 arr правой части получатся числа. Мы получим систему из r aR 1 x 1 aR 2 x 2.
ARR xR bR уравнений и r неизвестных, причем опр-льсистемы не равен 0 = Оставшиеся переменные х можно найти по формулам Крамера. ПРОВЕДЕННО КОНСТРУКТИВНОЕ ДОК-ВО.Найден способ нахождения переменных. Метод Гаусса. Правило Крамара. A 1 n b 1 i. Метод Гаусса (метод посл.
Исключения неизвестных). A 2 n Для решения системы линейных уравнений записывают расширенную матрицу системы. Затем a21 b 2 0 o. Над строками матрицы выполняют преобразования не меняющие ранг, стараясь привести A.
Матрицу к более простому виду из которого решение системы модно вычислить. Ann 0 0 0 непосредственно. Если система линейных уравнений не совместная, a n 1 b n y Правило Крамара (метод при котором x x; y y; z z ). Для этого нужно вычислить; x; y; z.
Однородные системы линейных алгебраических уравнений. A x N 0 Такая система всегда совместна (у нее всегда существует нулевое решение: x 1, x 2, x 3. X N 0 - тривиальное). 11 1 12 1 N a21 x1 a22 x2. A 2 N x N 0 Теорема.
A31 x1 a32 x2. A 3 N x N 0 «Для того, чтобы система однородных алгебраич. Ура-нийимела не тривиальное решение необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы был меньше кол-ванеизвестных». Док-во: Если ранг матрицы равен числу неизвестных = решение по формулам Крамера.
Они дадут a M 1 x a M 2 x 2. A MN x N 0 единственное нулевое решение. 1 Если ранг меньше числа неизвестных в силу док-ватеории КронекираКапелли. Значит есть ненулевые решения. Теорема док-на. Следствие: Для того, чтобы однородную систему алгеб. Ура-нийимела нетривиальное решение необходимо и достаточно, чтобы опр-льматрицы системы равнялся нулю.
Св-ворешений: Пусть x 1 1; x 2 2.; x N N; - какое – либо нетривиальное решение системы будем рассматривать как строку: e 1 ( 1,2, N.) Умножим каждый эле-тэтой строки на некоторое число С = составим еще одну строку решений данной системы: e 2 ( 1, 2, N.). C 1 e 1 C 2 e 2 тоже даст решения, т.е.
Любая линейная комбинация решений однородной системы также даст решения данной системы. Найдем такие лин. Реш-я,через которые выражаются все остальные.
Определение: Линейно независимая система решений линейной однородной системы алгебраических выражение называется фундаментальной, если любое решение системы является линейной комбинацией решений образующих фундаментальную систему. Фундаментальная система решений. Теорема о существовании фундаментальной системы решений: (ФСР) «Если ранг матрицы коэфицентов системы линейных однородных алгебраических урав-нийменьше числа неизвестных, то система обладает фундаментальной системой решений» a11 x1 a12 x2. A 1R xR a 1R 1 xR 1 a 1N xR Док-во: Пусть ранг матрицы коэф-тов r ( A ) r n. Первые r элем-товс коэф- тами оставим в левой части, остальные перенесѐм в левую часть.
Далее по шагам a21 x1 a22 x 2 a2 R x R a2 R1 x R 1 a 2 N xR находим решения: a31 x1 a32 x2 a 3R xR a 3R 1 xR 1 a 3N xR 1. X R 1 1; x R 2 0; x N 0 e 1 ( 1, 2., R,1,0,0) - первое решение. X R 1 0; x R 2 1; x N 0 e 2 ( 1, 2., R,0,1,0) - второе решение. AMR xR aMR 1 xR 1 aMN xR a M 1 x1 a M 2 x2 R. X R 1 0; x R 2 0; x N 1 e R ( 1, 2., R,0,1,0) - R - тое решение. Полученные решения образуют ФСР: e 1, e 2., e K. Данные решения линейно независимы и любое решение выражается через них.
Рассмотрим какое-либорешение e ( 1, 2., R, R 1, R 2., N ) e 0 e R 1 e 1 R 2 e 2. N e K 0 e 0 ( 1, 2, 3., R,0,0.0) - все равны 0. Произвольное решение е выражается через систему.
Теорема доказана. ВЫВОД из теоремы: Общее число решений однородной системы лин.
Ура-нийимеет вид: Линейной комбинации решений ( c 1e 1. C K e K ) ВОПРОС №12.
Гдз Алгебра 7 Класс Макарычев
Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений. A11 x1 a12 x2. A 1 N x N b 1 Рассмотрим неоднородную систему лин. Ура-нийи соответствующую ей однородную систему (где a21 x1 a22 x2. A 2 N x N b 2 свободные члены b равняются 0). A31 x1 a32 x2.
A 3 N x N b 3 Пусть: e 1 ( 1, 2., N, ) e 2 ( 1, 2., N, ) (e 1,e 2 – решение неоднородной системы; e 1 - e 2 – решения. Однородной системы) e 3 ( 1, 2., N, ) - решения неоднородной системы????
E 1 e 3 - решения однородной системы.???? A MN x N b N a M 1 x1 a M 2 x2 Общее решение неоднородной системы равно сумме общего решения однородной системы и произвольного, но фиксированного решения однородной системы. Связь решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений с соответствующей однородной. Скалярные и векторные величины. Строго говоря «Чем скалярная величина отличается от векторной величины?» Скалярная величина имеет только численное значение (скаляр – число), а векторная величина имеет как численное значение, так и направление.
Линейные операции над векторами. (. a) ( ). a 3.
(a b ) a b ) 5. ( a b ) c a ( b c ) 6.
A 0 a a.0 0 (.0 0) ВОПРОС №15. Разложение вектора по базису на плоскости и в пространстве. Пусть вектора а,b,c принадлежат плоскости. A, b не являются параллельными. Начала векторов совпадают. Разложение вектора С по базису а,в на плоскости: c a b (где, - координаты вектора С в базисе АВ). Эти вектора называются компланарными (лежат в - базис в 3х мерном пространстве, если три вектора будут не компланарными.
Производный вектор может быть одной плоскости). A, b, c, где, - координаты вектора d в базисе а,в,с. Разложен по этому базису: d a b c При разложении вектора по базису как на плоскости, так и в пространстве произвольный вектор представляется в виде линейной комбинации базисных векторов. A, b, c, d - линейнозависимые векторы (если d можно разложить по ортам а,в,с).
Определение линейной зависимости: Вектора a 1, a 2, a 3 линейнонезависимы если: 1 a 1 2 a2 3 a3 0 1.
Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта 'Инфоурок' и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!
Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки! Билеты по алгебре 10 класс - Билет 1 1.Свойства и график функции y = sinx 2.Определение производной. 3.Для функции у = х + 6 укажите обратную - Билет 2 1. Свойства и график функции y = cosx 2.Геометрический смысл производной. Исследуйте на чётность(нечётность) функцию - Билет 3 1.
Свойства и график функции y = tgx 2.Физический смысл производной. 3.Найдите область определения функции - Билет 4 1. Свойства и график функции y = ctg x 2.Определение сложной функции. 3.Найдите производную функции у = 3х 3 – 4,5х 2 Билет 5 1.Обратные тригонометрические функции. 2.Определение максимума, минимума функции. 3.Напишите уравнение касательной к графику функции у = х 4 + х в точке с абсциссой х 0 = 1. Билет 6 1.Уравнение вида sin x = a и его решения.
Найдите промежутки возрастания и убывания функции у = х 3 -3х - Билет 7 1. Уравнение вида cos x = a и его решения. 3.Найдите точки экстремума функции у = 0,5х 4 – 2х 3 - Билет 8 1.
Уравнение вида tg x = a и его решения. 3 Найдите производную функции Билет 9 1.Уравнение касательной (вывод). 2.Определение арксинуса. Найдите область определения функции - Билет10 1.Физический смысл производной (вывод) 2.Определение функции.
Область определения. Область значений. 3.Решите уравнение - Билет 11 1.Производная функции y = sin x (вывод) 2.Определение возрастающей, убывающей функции.
Найдите область определения функции - Билет 12 1. Производная функции y = cos x (вывод) 2.Определение чётной, нечётной функции. 3.Определите множество значений функции у = 2 sinx Билет 13 1. Производная функции y = tg x (вывод) 2.Определение периодической функции. Формула нахождения периода. 3.Решите уравнение - Билет 14 1.
Производная функции y = ctg x (вывод) 2.Определение предела функции в точке. Теоремы о пределах. 3.Найдите наименьший положительный период функции - Билет 15 1. Производная функции y = x n (вывод) 2.Определение непрерывной функции.
Гдз По Геометрии 7 Класс
3.Решите уравнение - Билет 16 1. Производная функции y = √ x (вывод) 2.Определение арккосинуса. 3.Определите множество значений функции у = 3 cosx + 1 Билет 17 1.Признак возрастания (убывания) функции (доказательство) 2.Определение арктангенса.
Гдз По Алгебре 8 Класса
3.Для функции f ( x )=2 x 3 - 3 x 2 + 6 найдите f / (-2) + f / (2). Билет 18 1. Производная функции у = 1/х (вывод) 2.Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. Исследуйте на чётность(нечётность) функцию - Билет 19 1.Достаточное условие существования экстремума (доказательство).
Определение арккотангенса. 3 Найдите производную функции - Билет 20 1.Функция и способы её задания. 2.Производные тригонометрических функций. 3.Точка движется прямолинейно по закону s ( t ) = 2 t 3 + t 2 – 4. Найдите скорость и ускорение в момент времени t = 2с. Билет 21 1.Правила нахождения производных. (доказательство одного на выбор).
2.Уравнение касательной. 3.Решите неравенство ≤ - Билет 22 1.Производная сложной функции. 2.Определение критических точек. 3.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х 3 – 3х на отрезке 0;2 - Билет 23 1.Простейшие преобразования графиков функций. 2.Признак возрастания (убывания) функции. 3 Найдите производную функции - Билет 24 1.Свойства функции. 2.Производная степенной функции.
(Рассмотреть примеры степени с различными показателями). 3.Найдите тангенс угла наклона касательной, проведённой к графику функции в точке М(2;6).
Билет 25 1.Приближённые вычисления с помощью производной (вывод одной из формул). Необходимое условие существования экстремума. Найдите производную функции в точке х 0 = π/5.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов. Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.